焦點熱門:單變量積分的知識可參考 二重積分的意義

二重積分是二元函數在空間上的積分，同定積分類似，是某種特定形式的和的極限。本質是求曲頂柱體體積。重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。

(資料圖片僅供參考)

本篇涉及到的單變量積分的知識可參考《數學筆記13——定積分》

二重積分的意義

一元積分的被積函數是二維空間的曲線，其幾何意義是計算曲線與x軸圍成的面積；二重積分的被積函數是空間中的一個曲面，其幾何意義是計算該曲面在xy平面的投影與該曲面圍成的曲項柱體的體積。

一元函數y = f(x)，  ：

二元函數z= f(x,y)的積分：

f(x,y)在xy平面的投影的區域是R，其二重積分稱之為區域R上f(x,y)dA的二重積分，表示為：

dA表示R上的一小塊面積。

用黎曼和計算體積

一元積分采用黎曼和分塊，二重積分也是類似的思路，如下圖所示：

R區域分成了多個小塊，每塊的面積是ΔA。設第i塊的面積是ΔAi，ΔAi中心點在xy平面對應的值是(xi, yi)，那么第i小塊的高是f(xi, yi)，面積是f(xi, yi)ΔAi：

這個式子對應三維空間中函數圖像下方R區域內所有小柱體的體積之和。如果取積分，就是對所有小塊面積ΔA取極限，使其趨近于0，就得到了二重積分：

計算二重積分

計算方法的來源

在計算二重積分時，需要將一個二重積分的計算簡化為兩個單變量積分的計算，因此對于二重積分，所有在一元積分中的計算方法都適用。

如上圖所示，平面T與xz平面垂直且與y軸平行，S(x0)是綠色陰影部分的面積。如果將T沿x軸垂直方向前后移動（但不能超過R區域），將會得到不同的面積S(x)，將這些S(x)相加（做積分），就會得到柱體的體積：

積分上下限就是平面T與R區域的切點。

現在的問題是如何計算S(x)？還是利用黎曼和的思想，將面積切割成小塊，如下圖所示：

小矩形的寬度是Δy，高度是f(x,y)，對于給定的x來說，S(x) 實際上是關于變量y的積分：

積分域表示對于給定的切面S(x)，x是定值，y是隨著x變化的。

現在把兩個積分式合并在一起，就得到了二重積分：

通常將最后一步的括號省略：

實際上二重積分就是累次積分，它做了兩次積分，先固定x，對y積分（計算切面面積S(x)）；再固定y，對x積分（計算R區域的體積）。

在這里dA最終變成了dydx，這是因為將R區域的面積分成了無數個小矩形，矩形的長和寬就是dy和dx，小矩形面積dA = dydx，由此看來先對x積分和先對y積分是一樣的。

計算的一般過程

計算二重積分的一般過程就是分步積分，下面是一個示例。

計算z = 1 – x2 – y2在0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1上的積分。

重積分表達式是：

第一步是計算內積分，將x看作固定值，對y做積分：

經過第一步后，y將從結果中消失。接下來計算外積分：

這就是最終答案了。

積分的邊界

現在修改一下函數的定義域，如果約束 x2 + y2 ≤ 1且x ≥ 0，y ≥ 0，那么z的二重積分是什么？

如下圖所示，R區域實際上是1/4圓：

現在以y為內積分，x為外積分，判斷積分域。容易知道x的取值范圍是 0 ≤ x ≤ 1，而y是受x約束的：

在虛線上，x是定值，y的邊界是y = 0和x2 + y2 = 1，用x表示y就得到了內積分的邊界值：

外積分使用三角替換（積分的三角替換可參考《數學筆記20——三角替換1（sin和cos）》），令x = sinθ，0 ≤ θ ≤ π/2，dx = cosθdθ：

最終答案是π/8

改變內外積分的順序

由于先對x積分和先對y積分是一樣，所以在某些情況下可以通過改變內外積分的順序來使計算更加簡單。需要注意的是，交換后內外積分的積分域也要隨之改變：

示例

如果先計算內部積分，會發現很難，你會在第一步就卡住，無法繼續計算，在這種情況下可以嘗試改變內外積分的順序。

改變順序的時候要同時改變積分域，從原積分域中0 < x < 1,  x < y < x1/2可以看出，0 < y < 1，所以：

現在的問題是x如何受到y的影響？如下圖所示，結合積分域，R區域就是y = x和y = x1/2這兩條曲線所圍成的部分：

在圖中容易看出x的兩個邊界，右邊界（x上限）是y = x，左邊界（x下限）是y = x1/2。如果改寫成x關于y的表達式，則右邊界x = y，左邊界x = y2，所以：

現在可以計算內部積分：

外部積分：

綜合示例

示例1

如果R區域是(0,0), (0,2) , (-1,2)三點圍成的三角形，求∫∫Rdxdy和∫∫Rdydx的積分域。

直角三角形就是R區域。

示例2

如果R區域是圓心在原點，半徑為2的圓，直線y=x的下方，x軸的上方共同圍成的，求∫∫Rdxdy和∫∫Rdydx的積分域。

以y為外積分，dy的上下邊界是0，21/2；需要思考的是內積分的上下邊界。

如上圖所示，在虛線上，y值固定，虛線上的左邊界是y = x，右邊界是圓x2 + y2 = 4，所以在虛線上，y < x < (4 - y2)1/2，這就是內積分的邊界。

以x為外積分看起來似乎沒那么容易，此時R區域需要分成兩個部分，每個部分的內積分邊界值是不同的：

示例3

計算

改變積分順序可以簡化問題。

R區域如下圖所示：

作者：我是8位的

出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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