【消元法】二元一次方程組怎么解？

來源：CSDN 時間：2023-02-02 09:47:55

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上回講到二元一次方程組的解法, 一個自然的問題是如何把它推廣到更高維度, 比如三元一次方程組怎么解? $n$元一次方程組怎么解? 這節先來回答第一個問題.

考慮三元一次方程組 \[ \left\{\begin{split} &x+y+z=6\\ &x+2y-z=2\\ &2x+3y-2z=2 \end{split} \right.. \] 我們先來嘗試加減消元法, 我們假設第一行乘以$a$, 第二行乘以$b$, 第三行乘以$c$, 然后相加. 得到 $$(a+b+2c)x+(a+2b+3c)y+(a-b-2c)z=6a+2b+2c.$$

為了消去$y,z$, 需要滿足 \[ \left\{\begin{split} &a+2b+3c=0\\ &a-b-2c=0 \end{split} \right.. \] 為了求出$x$, 需要先解另外一個三元一次方程組, 為了求出$y,z$, 還要再解另外兩個三元一次方程組, 似乎這條路很麻煩. 而且要求的$a,b,c$似乎看不出什么規律. 其實還是有規律可循的, 這里暫且按下不表.

那么我們再來看看代入消元法. 把第一個方程中的$x$用$y,z$表示, 代入第二個方程, 可得 $$6-y-z+2y-z=2\Leftrightarrow (2-1)y+(-1-1)z=2-6.$$ 本質上相當于第一個方程乘以$-1$加到第二個方程上, 同樣的道理, 將第一個方程代入第三個方程本質上相當于第一個方程乘以$-2$加到第三個方程上. 所以得到 \[ \left\{\begin{split} &x+y+z=6\\ &0+y-2z=-4\\ &0+y-4z=-10 \end{split} \right.. \] 然后將第二個方程代入第三個方程, 本質上相當于第二個方程乘以$-1$加到第三個方程上, 得到 \[ \left\{\begin{split} &x+y+z=6\\ &0+y-2z=-4\\ &0+0-2z=-6 \end{split} \right.. \] 然后第三個方程可以解出$z=3$, 代入第二個方程得到$y=2$, 再代入第一個方程得到$x=1$. 這樣就解出了方程組.

上面的方法在數學上稱為高斯消去法, 對多元線性方程組也適用. 這種在某一行乘以一個數再加到另外一行的技巧叫做第三類初等變換, 以后還會繼續用到.

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