高等數學筆記-蘇德礦

第九章-重積分(Ⅰ)-二重積分

第一節 二重積分的概念和性質

一、二重積分的典例

01 平面薄板的質量

平面薄片一點的面密度的定義：

設有一個平面薄片位于 x O y xOy xOy 平面上的有界閉區域 σ x y \sigma xy σxy，設 P 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ σ x y P_0(x_0,y_0)\in\sigma xy P0?(x0?,y0?)∈σxy，

P 0 ∈ Δ σ ∈ σ x y P_0\in \Delta\sigma\in\sigma xy P0?∈Δσ∈σxy， Δ σ \Delta\sigma Δσ 的面積仍用 Δ σ \Delta\sigma Δσ 表示，稱 Δ M Δ σ \frac{\Delta M}{\Delta \sigma} ΔσΔM? 為 Δ σ \Delta\sigma Δσ 的平均面密度。

(資料圖片僅供參考)

若 lim ? Δ σ → P 0 Δ M Δ σ \lim \limits_{\Delta\sigma \rightarrow P_0} \frac{\Delta M}{\Delta \sigma} Δσ→P0?lim?ΔσΔM? 極限存在，該極限稱為在 P 0 P_0 P0? 點的面密度。

如果 σ x y \sigma xy σxy 面密度處處相等，稱該薄片是密度均質的薄片；否則稱薄片密度為非均質的。

設一個平面薄板位于 x O y xOy xOy 平面區域的有界閉區域 D D D，其面密度為 μ = μ ( x , y ) μ=μ(x,y) μ=μ(x,y) 如何求薄片的質量？

類似一元的處理方法，采用：

(1) 分割

用若干條曲線將 D D D 任意劃分成 n n n 個小區域 Δ D 1 , Δ D 2 , ? ? , Δ D n , Δ D i \Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n}, \Delta D_{i} ΔD1?,ΔD2?,?,ΔDn?,ΔDi? 的面積記為 Δ σ i , ( i = 1 , 2 , ? ? , n ) \Delta \sigma_{i},(i=1,2, \cdots, n) Δσi?,(i=1,2,?,n)

(2) 作和

在小區域分得很小時，近似認為質量均勻，任取 ( ξ i , η i ) ∈ Δ D i \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i} (ξi?,ηi?)∈ΔDi?，薄板的質量近似地表達為 m = ∑ i = 1 n Δ m i ≈ ∑ i = 1 n μ ( ξ i , η i ) Δ σ i m=\sum_{i=1}^{n} \Delta m_{i} \approx \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} m=i=1∑n?Δmi?≈i=1∑n?μ(ξi?,ηi?)Δσi? (3) 取極限

記 λ = max ? 1 ≤ 1 ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤1≤nmax?{di?}，( d i d_{i} di? 是小區域 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi? 的直徑 ) 那么若下列極限存在，就給出了薄板的質量。 m = lim ? λ → 0 ∑ i = 1 n μ ( ξ i , η i ) Δ σ i m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} m=λ→0lim?i=1∑n?μ(ξi?,ηi?)Δσi?

02 曲頂柱體的體積

柱體的側面是母線垂直 x y x y xy 平面的柱面，頂面為曲面 S : z = f ( x , y ) S: z=f(x, y) S:z=f(x,y)，

底面是 x y x y xy 平面上區域 D D D，如何求此曲頂柱體的體積？

(1) 分割

用若干條曲線將區域 D D D 分成小區域 Δ D 1 , Δ D 2 , ? ? , Δ D n \Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n} ΔD1?,ΔD2?,?,ΔDn?，而 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi? 的面積記為 Δ σ i \Delta \sigma_{i} Δσi?，

相應地把柱體分成 n n n 個小的曲頂柱體 Δ V 1 , Δ V 2 , ? ? , Δ V n \Delta V_{1}, \Delta V_{2}, \cdots, \Delta V_{n} ΔV1?,ΔV2?,?,ΔVn?，而 Δ V i \Delta V_{i} ΔVi? 的體積仍記為 Δ V i \Delta V_{i} ΔVi? .

(2) 求和

區域分得很小時，用柱體來近似小曲頂柱體的體積，任取 ( ξ i , η i ) ∈ Δ D i \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i} (ξi?,ηi?)∈ΔDi?，則總體積近似為： ∑ i = 1 n Δ V i = ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \Delta V_i =\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} }% i=1∑n?ΔVi?=i=1∑n?f(ξi?,ηi?)Δσi?

(3) 取極限

記 λ = max ? 1 ≤ 1 ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤1≤nmax?{di?}，( d i d_{i} di? 是小區域 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi? 的直徑 ) ，則體積 V V V 由如下極限給出： V = lim ? λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \displaystyle{ V=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} }% V=λ→0lim?i=1∑n?f(ξi?,ηi?)Δσi?

從以上例子抽象出來就得到二重積分的概念，這類問題要計算在一個平面區域上分布率不均勻的量的總量。

積分四部曲：分勻和精（分割、看作均勻、求近似值、極限取到精確）。

二、二重積分的概念

01 定義

設 D D D 是 x O y xOy xOy 平面的有界閉區域，函數 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 在 D D D 定義， I I I 為實數，

若用若干條曲線將 D D D 任意劃分成個小區域 Δ D 1 , Δ D 2 , ? ? , Δ D n \Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n} ΔD1?,ΔD2?,?,ΔDn?，

任取 ( ξ i , η i ) ∈ Δ D i ? ( i = 1 , 2 , ? ? , n ) \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i}\ (i=1,2, \cdots, n) (ξi?,ηi?)∈ΔDi??(i=1,2,?,n)， Δ σ i \Delta \sigma_{i} Δσi? 表示 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi? 的面積，

f ( ξ i , η i ) Δ σ i f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} f(ξi?,ηi?)Δσi? 稱為積分元，對積分元作和得到如下積分和式： ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} }% i=1∑n?f(ξi?,ηi?)Δσi?

記 λ = max ? 1 ≤ i ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤i≤nmax?{di?}， d i d_{i} di? 是小區域 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi? 的直徑，若總有： lim ? λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i = I \displaystyle{ \lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}=I }% λ→0lim?i=1∑n?f(ξi?,ηi?)Δσi?=I

則稱函數 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 在有界閉區域 D D D 上可積， I I I 稱為 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 在 D D D 的二重積分，記為 ? D f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma D??f(x,y)dσ .

其中， ? ? \iint- ?? 二重積分號， D ? D- D? 積分區域， f ( x , y ) ? f(x, y)- f(x,y)?被積函數，

x ? , ? y ? x \ , \ y- x?,?y?積分變量， f ( x , y ) d σ ? f(x, y) d \sigma- f(x,y)dσ?被積表達式， d σ ? d \sigma- dσ?面積元素 (面積微元) 。

若函數 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 上可積，則 ? D f ( x , y ) d σ = lim ? λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i = I \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}=I D??f(x,y)dσ=λ→0lim?i=1∑n?f(ξi?,ηi?)Δσi?=I。

關于定義中“總有”的含義：

對于所有小區域所取點的函數值，作和取極限都得到唯一存在且確定的數 I I I，

且極限 I I I 的取值與區域分割方法和區域內點 ( ξ i , η i ) \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) (ξi?,ηi?) 的取法均無關。

02 幾何意義

若 ? D f ( x ) d σ \iint\limits_Df(x)d\sigma D??f(x)dσ 存在且 f ( x , y ) ? 0 f(x,y)\geqslant0 f(x,y)?0，則以區域 D D D 為底，以曲面 S : z = f ( x , y ) S: z=f(x, y) S:z=f(x,y) 為頂的曲頂柱體的體積。

03 物理意義

若 ? D f ( x ) d σ \iint\limits_Df(x)d\sigma D??f(x)dσ 存在且 f ( x , y ) ? 0 f(x,y)\geqslant0 f(x,y)?0，則二重積分表示面密度為 μ = μ ( x , y ) μ=μ(x,y) μ=μ(x,y) 的平面薄片的質量

04 可積的充分條件

若函數 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在區域 D D D 上連續有界，則 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 可積。

若函數 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在區域 D D D 上有界，只在有限條曲線上不連續，則 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 可積。

若函數 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在有界區域 D D D 上分片連續有界，則 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 可積。

分片連續有界：分片借鑒一元函數分段的概念，在每個區域內均連續有界。

三、二重積分的性質

設以下性質中出現的積分均存在

性質1 (線性運算法則) ：若 α , β \alpha, \beta α,β 是常數， ? D ( α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ) d σ = α ? D f ( x , y ) d σ + β ? D g ( x , y ) d σ \iint \limits_{D}(\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) d \sigma=\alpha \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma+\beta \iint \limits_{D} g(x, y) d \sigma D??(αf(x,y)+βg(x,y))dσ=αD??f(x,y)dσ+βD??g(x,y)dσ

性質2 (區域的可加性) ：若積分區域 D D D 分成 D 1 , D 2 D_{1}, D_{2} D1?,D2? 兩個子區域（ D 1 , D 2 D_{1}, D_{2} D1?,D2? 不可以有公共區域）， ? D f ( x , y ) d σ = ? D 1 f ( x , y ) d σ + ? D 2 f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\iint \limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma+\iint \limits_{D_{2}} f(x, y) d \sigma D??f(x,y)dσ=D1???f(x,y)dσ+D2???f(x,y)dσ

性質3（求平面區域的面積）： ? D 1 d σ = A D ( D ? 的 面 積 ) \iint \limits_{D} 1 d \sigma=A_{D} \quad(D\ 的面積) D??1dσ=AD?(D?的面積)

性質4 (單調性/保序性) ：若 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ) f(x, y) \leq g(x, y) f(x,y)≤g(x,y)，則 ? D f ( x , y ) d σ ? ? D g ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma \leqslant \iint \limits_{D} g(x, y) d \sigma D??f(x,y)dσ?D??g(x,y)dσ 性質4的推論： ( 1 ) ?? 若 f ( x , y ) ? 0 ? , ? 且 ? f ( x , y ) ≡? 0 ? , ? 則 ? D f ( x , y ) d σ > 0 ( 2 ) ?? ∣ ? D f ( x , y ) d σ ∣ ≤ ? D ∣ f ( x , y ) ∣ d σ ??? ( 三 角 不 等 式 的 推 廣 ) ( 3 ) ?? 若 m ? f ( x , y ) ? M ? , ? 則 ? m A D ? ? D f ( x , y ) d σ ? M A D ??? ( 估 值 定 理 ) \begin{aligned} & (1)\ \ 若 f(x, y) \geqslant 0\ ,\ 且\ f(x, y)\not\equiv0 \ ,\ 則 \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma > 0\\ & (2)\ \ \left|\iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma\right| \leq \iint \limits_{D}|f(x, y)| d \sigma \ \ \ (三角不等式的推廣) \\ & (3)\ \ 若 m \leqslant f(x, y) \leqslant M\ ,\ 則\ m A_{D} \leqslant \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma \leqslant M A_{D} \ \ \ (估值定理) \end{aligned} ?(1)??若f(x,y)?0?,?且?f(x,y)?≡0?,?則D??f(x,y)dσ>0(2)??∣∣∣∣∣∣?D??f(x,y)dσ∣∣∣∣∣∣?≤D??∣f(x,y)∣dσ???(三角不等式的推廣)(3)??若m?f(x,y)?M?,?則?mAD??D??f(x,y)dσ?MAD????(估值定理)?

性質5 (二重積分中值定理) ：若 D D D 是有界閉區域， f ( x , y ) ∈ C ( D ) f(x, y) \in C(D) f(x,y)∈C(D)，則存在 ( ξ , η ) ∈ D (\xi, \eta) \in D (ξ,η)∈D， ? D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η ) A D \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=f(\xi, \eta) A_{D} D??f(x,y)dσ=f(ξ,η)AD? 對應一元函數定積分中的平均值定理（積分第一中值定理）

第二節 二重積分的計算

一、直角坐標系下的計算

01 直角坐標下積分區域的劃分

(1) x x x 型正則區域

① 什么是 x x x 型區域

設 D D D 為有界閉區域，若對垂直于 x x x 軸的任何一條直線 ( x = 常 數 x=常數 x=常數 )，與 D D D 的邊界有無窮個交點（此時 D D D 的邊界垂直于 x x x 軸）

或者至多有兩個交點，那么稱 D D D 為 x x x 型正則區域。

② x x x 型區域示意圖

③ x x x 型區域下的積分轉化

設區域 D = { ( x , y ) ∣ φ 1 ( x ) ? y ? φ 2 ( x ) ?? , ? a ? x ? b } D=\left\{(x, y) \mid \varphi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \varphi_{2}(x)\ \ ,\ a \leqslant x \leqslant b \right\} D={(x,y)∣φ1?(x)?y?φ2?(x)??,?a?x?b}， f ( x , y ) ? 0 ? , ? ( x , y ) ∈ D f(x,y)\geqslant 0 \ , \ (x,y)\in D f(x,y)?0?,?(x,y)∈D，則 ? D f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d\sigma D??f(x,y)dσ 表示底面在 x O y xOy xOy 平面的區域 D D D，底部曲面方程 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)，側面是以 D D D 的邊界為準線，曲線平行于 z z z 軸的柱面圍成的立體的體積 V V V。

( 二重積分 ? D f ( x , y ) d x d y \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y D??f(x,y)dxdy ( d σ = d x d y ) (d \sigma=d x d y) (dσ=dxdy)的值等于以 D D D 為底，以曲面 S S S : z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 為頂的曲頂柱體的體積。) 利 用 定 積 分 來 求 體 積 考 慮 垂 直 x 軸 過 x 處 的 平 面 截 曲 頂 柱 體 所 得 截 面 積 A ( x ) 截 面 曲 邊 梯 形 的 面 積 A ( x ) ? : ? A ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y 可 得 曲 頂 柱 體 的 體 積 ? : ? V = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ a b ( ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y ) d x 導 出 ? : ? ? D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b ( ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y ) d x 寫 成 ( 稱 為 二 次 積 分 或 累 次 積 分 ) ? : ? ? D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \begin{aligned} & 利用定積分來求體積考慮垂直 x 軸過 x 處的平面截曲頂柱體所得截面積 A(x) \\ & 截面曲邊梯形的面積 A(x) \ : \ A(x)=\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\\ & 可得曲頂柱體的體積 \ : \ V=\int_{a}^ A(x) d x=\int_{a}^\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\right) d x\\ & 導出 \ : \ \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\right) d x\\ & 寫成(稱為二次積分或累次積分) \ : \ \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^ d x \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y \end{aligned} ?利用定積分來求體積考慮垂直x軸過x處的平面截曲頂柱體所得截面積A(x)截面曲邊梯形的面積A(x)?:?A(x)=∫φ1?(x)φ2?(x)?f(x,y)dy可得曲頂柱體的體積?:?V=∫ab?A(x)dx=∫ab?(∫φ1?(x)φ2?(x)?f(x,y)dy)dx導出?:?D??f(x,y)dxdy=∫ab?(∫φ1?(x)φ2?(x)?f(x,y)dy)dx寫成(稱為二次積分或累次積分)?:?D??f(x,y)dxdy=∫ab?dx∫φ1?(x)φ2?(x)?f(x,y)dy?

(2) y y y 型正則區域

① 什么是 y y y 型區域

設 D D D 為有界閉區域，若對垂直于 y y y 軸的任何一條直線 ( y = 常 數 y=常數 y=常數 )，與 D D D 的邊界有無窮個交點（此時 D D D 的邊界垂直于 y y y 軸）

或者至多有兩個交點，那么稱 D D D 為 y y y 型正則區域。

② y y y 型區域示意圖

③ y y y 型區域下的積分轉化若 積 分 區 域 ? D = { ( x , y ) ∣ ψ 1 ( x ) ? y ? ψ 2 ( x ) ?? , ? c ? y ? d } 則 有 ? D f ( x , y ) d x d y = ∫ c d d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \begin{aligned} & 若積分區域\ D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \psi_{2}(x)\ \ ,\ c \leqslant y \leqslant d \right\}\\ & 則有\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{c}^z3l515n d y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) d x \end{aligned} ?若積分區域?D={(x,y)∣ψ1?(x)?y?ψ2?(x)??,?c?y?d}則有D??f(x,y)dxdy=∫cd?dy∫ψ1?(y)ψ2?(y)?f(x,y)dx?

02 二重積分計算的步驟

畫出積分區域 D D D 如果 D D D 的邊界為兩條曲線，先求出交點，畫經過交點的邊界曲線如果 D D D 的邊界超過兩條曲線，在畫邊界曲線的過程中，求出交點，畫出積分區域 D D D 若 D D D 為 x x x 型正則區域，則二重積分化為先積 y y y，后積 x x x若 D D D 為 y y y 型正則區域，則二重積分化為先積 x x x，后積 y y y若 D D D 不是 x x x 或 y y y 型正則區域，則分割處理區域后二重積分化為上述兩種累次積分

二、二重積分的變量代換

設變換 { x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) \left\{\begin{array}{l}x=x(u, v) \\ y=y(u, v)\end{array}\right. {x=x(u,v)y=y(u,v)? 有連續偏導數，且滿足 J = ? ( x , y ) ? ( u , v ) = ∣ x u y u x v y v ∣ ≠ 0 ?? ( 二 階 雅 可 比 行 列 式 ) J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} x_{u} & y_{u} \\ x_{v} & y_{v} \end{array}\right| \neq 0\ \ (二階雅可比行列式) J=?(u,v)?(x,y)?=∣∣∣∣?xu?xv??yu?yv??∣∣∣∣??=0??(二階雅可比行列式) 而 f ( x , y ) ∈ C ( D ) f(x, y) \in C(D) f(x,y)∈C(D)，那么 ? D f ( x , y ) d x d y = ? D ′ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∣ J ∣ d u d v \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\iint \limits_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J| d u d v D??f(x,y)dxdy=D′??f(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv u v u v uv 平面小矩形 A ′ B ′ C ′ D ′ ? x y A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \longrightarrow x y A′B′C′D′?xy 平面曲邊四邊形 A B C D A B C D ABCD A ′ ( u , v ) ? A ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) B ′ ( u + Δ u , v ) ? B ( x ( u + Δ u , v ) , y ( u + Δ u , v ) ) C ′ ( u + Δ u , v + Δ v ) ? C ( x ( u + Δ u , v + Δ v ) , y ( u + Δ u , v + Δ v ) ) D ′ ( u , v + Δ v ) ? D ( x ( u , v + Δ v ) , y ( u , v + Δ v ) ) \begin{aligned} &A^{\prime}(u, v) \longrightarrow A(x(u, v), y(u, v)) \\ &B^{\prime}(u+\Delta u, v) \longrightarrow B(x(u+\Delta u, v), y(u+\Delta u, v)) \\ &C^{\prime}(u+\Delta u, v+\Delta v) \longrightarrow C(x(u+\Delta u, v+\Delta v), y(u+\Delta u, v+\Delta v)) \\ &D^{\prime}(u, v+\Delta v) \longrightarrow D(x(u, v+\Delta v), y(u, v+\Delta v)) \end{aligned} ?A′(u,v)?A(x(u,v),y(u,v))B′(u+Δu,v)?B(x(u+Δu,v),y(u+Δu,v))C′(u+Δu,v+Δv)?C(x(u+Δu,v+Δv),y(u+Δu,v+Δv))D′(u,v+Δv)?D(x(u,v+Δv),y(u,v+Δv))?

A B C D ABCD ABCD 近似平行四邊形，只需求出一組鄰邊的向量表示：

三、極坐標系下的計算公式

01 極坐標系下的二重積分

若 ? D f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma D??f(x,y)dσ 存在，當 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 中含有 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2 或積分區域 D D D 是圓域或圓周與直線圍成的區域，

令 x = r cos ? θ ? , ? y = r sin ? θ x=r\cos\theta\ , \ y=r\sin\theta x=rcosθ?,?y=rsinθ，則 ? D f ( x , y ) d σ = ? D r θ f ( r cos ? θ , r sin ? θ ) ? r ? d θ d r \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\iint \limits_{D_{r\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r \ d\theta dr D??f(x,y)dσ=Drθ???f(rcosθ,rsinθ)?r?dθdr .

02 極坐標下積分區域的劃分

極坐標下的 θ \theta θ 型區域

設 D D D 為有界閉區域，從極點 O O O 出發的任何一條射線與 D D D 的邊界有無窮個交點（此時 D D D 的邊界是射線的一段）

或者至多有兩個交點，那么稱 D D D 為 θ ? \theta- θ? 型區域，且設區域 D = { ( r , θ ) ∣ r 1 ( θ ) ? r ? r 2 ( θ ) ?? , ? α ? θ ? β } D=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\} D={(r,θ)∣r1?(θ)?r?r2?(θ)??,?α?θ?β}

接下來對于不同類型的 θ ? \theta- θ? 型區域進行討論，設有界閉區域 D D D 為 θ \theta θ 型區域，

極點 O O O 在 D D D 的外部 作射線從 x x x 軸開始旋轉，確定 θ \theta θ 的范圍 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β] . D = { ( r , θ ) ∣ r 1 ( θ ) ? r ? r 2 ( θ ) ?? , ? α ? θ ? β } D=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\} D={(r,θ)∣r1?(θ)?r?r2?(θ)??,?α?θ?β} . 極點 O O O 在 D D D 的邊界 求出邊界曲線 r = r ( θ ) r=r(\theta) r=r(θ) 的定義域不僅使 r ( θ ) r(\theta) r(θ) 有意義，且 r ( θ ) ? 0 r(\theta)\geqslant0 r(θ)?0 的 θ \theta θ 范圍 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β] . D = { ( r , θ ) ∣ 0 ? r ? r ( θ ) ?? , ? α ? θ ? β } D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant r(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\} D={(r,θ)∣0?r?r(θ)??,?α?θ?β} . 極點 O O O 在 D D D 的內部 D = { ( r , θ ) ∣ 0 ? r ? r ( θ ) ?? , ? 0 ? θ ? 2 π } D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant r(\theta)\ \ ,\ 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \right\} D={(r,θ)∣0?r?r(θ)??,?0?θ?2π} .

03 極坐標系下二重積分的推導

當積分區域的邊界曲線或被積函數用極坐標表示較為簡單時，二重積分有時可用極坐標來計算。 我 們 來 考 慮 面 積 元 素 Δ σ 在 極 坐 標 下 的 形 式 。 用 r 為 常 數 所 表 示 的 圓 周 族 和 θ 為 常 數 所 表 示 的 射 線 族 分 割 區 域 D ， 那 么 小 區 域 面 積 Δ σ = 1 2 [ ( r + Δ r ) 2 Δ θ ? r 2 Δ θ ] = 1 2 [ 2 r Δ r + ( Δ r ) 2 ] Δ θ ? d σ = r d r d θ 從 直 角 坐 標 變 換 為 極 坐 標 時 的 二 重 積 分 的 變 換 公 式 ? D f ( x , y ) d x d y = ? D f ( r cos ? θ , r sin ? θ ) r d r d θ 若 區 域 D = { ( r , θ ) ∣ r 1 ( θ ) ≤ r ≤ r 2 ( θ ) , α ≤ θ ≤ β } 二 重 積 分 化 為 累 次 積 分 ? D f ( r cos ? θ , r sin ? θ ) r d r d θ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos ? θ , r sin ? θ ) r d θ \begin{aligned} & 我們來考慮面積元素 \Delta \sigma 在極坐標下的形式。\\ & 用 r 為常數所表示的圓周族和 \theta 為常數所表示的射線族分割區域 D，那么小區域面積\\ & \Delta \sigma=\frac{1}{2}\left[(r+\Delta r)^{2} \Delta \theta-r^{2} \Delta \theta\right]=\frac{1}{2}\left[2 r \Delta r+(\Delta r)^{2}\right] \Delta \theta \\ & \Longrightarrow \quad d \sigma=r d r d \theta\\ & 從直角坐標變換為極坐標時的二重積分的變換公式\\ & \quad\quad\quad\quad\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta\\ & 若區域 D =\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leq r \leq r_{2}(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta\right\} \\ & 二重積分化為累次積分\\ & \iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta = \int_{\alpha}^{\beta} d \theta \int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d \theta \end{aligned} ?我們來考慮面積元素Δσ在極坐標下的形式。用r為常數所表示的圓周族和θ為常數所表示的射線族分割區域D，那么小區域面積Δσ=21?[(r+Δr)2Δθ?r2Δθ]=21?[2rΔr+(Δr)2]Δθ?dσ=rdrdθ從直角坐標變換為極坐標時的二重積分的變換公式D??f(x,y)dxdy=D??f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ若區域D={(r,θ)∣r1?(θ)≤r≤r2?(θ),α≤θ≤β}二重積分化為累次積分D??f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβ?dθ∫r1?(θ)r2?(θ)?f(rcosθ,rsinθ)rdθ?

四、二重積分積分技巧

利用區域 D D D 的對稱性與被積函數 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 關于相應變量的奇偶性簡化二重積分的計算。 若 ? D ? 關 于 ? x ? 軸 對 稱 ， 則 ? D f ( x ) d σ = { 0 f ( x , ? y ) = ? f ( x , y ) 2 ? D 1 f ( x ) d σ f ( x , ? y ) = f ( x , y ) \begin{aligned} & 若\ D\ 關于\ x\ 軸對稱，則\\ & \quad\quad\iint \limits_{D} f(x) d\sigma=\left\{\begin{array}{cc}0 & f(x,-y)=-f(x,y) \\ 2 \iint \limits_{D_1} f(x) d\sigma & f(x,-y)=f(x,y) \end{array}\right. \end{aligned} ?若?D?關于?x?軸對稱，則D??f(x)dσ={02D1???f(x)dσ?f(x,?y)=?f(x,y)f(x,?y)=f(x,y)??

對于一般區域的二重積分可將其分成若干個正則子區域，利用積分的可加性，分別在各子區域積分后求和。

當積分區域關于 x x x 軸或 y y y 軸對稱時，注意被積函數是否有奇偶性，從而使積分簡化。對稱性非常重要！