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環球熱推薦：維納濾波是最優的線性濾波器 矩陣&向量的求導方法

來源：CSDN 時間：2023-02-14 08:45:37

總結：

維納濾波是最優的線性濾波器：濾波器就是x->h->y，h就是濾波器。這個最優的線性濾波器是維納濾波。因為從正交性的角度出發（參見3.1節）可以推導出維納濾波器。殘差與原材料正交！維納濾波還是一種線性估計。讓x(t)經過一個線性系統h(t)后，得到x(t)*h(t)=x"(t)卷積，用這個x"(t)去線性逼近Y(t)，此處就還是一個線性估計。因為還是最小均方誤差估計，在MSE的估計下的最優估計MVUE是條件期望，也就是最佳線性投影。維納濾波的Metric是最小均方誤差卷積是線性的，最小均方誤差意義下的逼近仍然是線性逼近。（最小均方誤差下的最優估計是條件期望E(Y|X)，這個就是投影（正交化），minE(Y-αX)^2，得到如下式子，這就是投影（正交化）。將Y向X上投影，其結果就是最優估計。終于證明了維納濾波的公式了，由于期望的存在，真的是功率譜。在頻域是乘積，在空域就是卷積了。對（FH)"，對矩陣求偏導得到的結果是H*，且是乘積。所以再換算到空域，就是卷積共軛 *h(-x,-y)。由于第二個是假設了服從高斯分布，所以Sn/Sf就簡化為了 了


【資料圖】

0. 線性估計

補充：常用的矩陣向量求導公式，參考  矩陣&向量的求導方法推導及常用公式總結和證明(一) - 知乎

1. 《數字圖像處理》岡薩雷斯

證明方式：參考：維納濾波推導

解釋為什么在空域是(f*h)"=*h(-x,-y)，為什么是卷積上共軛

因為在頻域中，是對，對矩陣求偏導得到的結果是，且是乘積。所以再換算到空域，就是卷積共軛

2. 貝葉斯角度的推導維納濾波公式

中間計算過程為：

則繼續求導為：(g-f*h)*h"/σn^2 + f/σf^2=0

然后在頻域求解，即可得到（3.10）式。

2.1 關鍵步驟：對f*h求偏導，怎么進行的？

竟然是（g-f*h)*h"。這一步的數學說明未盡考察，從paper上就是這樣來的。待進一步考證

3. 從正交性和線性估計的角度來推導維納濾波

維納濾波原理（Wiener Filter）

解釋了2.1的疑問，卷積的微分是怎么求得的？

其中花體R是傅里葉變換。因為對Wiener-Hoef方程（卷積形式）進行傅里葉變換，可以得到乘積。Sx H = Sxs, S為功率譜密度，H為傅里葉變換。對相關的傅里葉變換是功率譜密度。

3.1 從正交性的角度來解釋

這里推導出的公式跟逆濾波類似，還沒有加入f的先驗的部分。

先對x(t)進行正交化，得到U(t)，讓U(t)經過線性系統h2得到U^，然后去U^的一半（正的部分）去近似逼近Y(t)。

為什么可以去一半（正的部分）呢？ 因為U是正交的，因果系統只有正的部分才是有意義的假定U不僅是正交的，還是單位化的。x(t)*h1(t)=U(t)，卷積的結果是Wiener-Hoef方程，

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